कक्षा -10 पाठ -1 वास्तविक संख्याएँ (Class-10 Chapter-1 Real Numbers )

प्रमेय: यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका

(Theorem: Euclid’s Division Lemma)-

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार दो धनात्मक पूर्णांक a तथा b, दिये रहने पर, ऐसी अद्वितीय पूर्ण संख्याएँ q तथा r विद्यमान हैं कि a=bq+r,0≤r<b

यहाँ q = भागफल 

(Quotient) तथा

 









r = शेष (Remainder) है।

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म (कलन विधि) इसी प्रमेयिका (Lemma) पर आधारित है। यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म (कलन विधि) दिये गये दो धनात्मक पूर्ण संख्याओं का HCF (महत्तम समापवर्तक) निकालने की एक विधि है।

दो धनात्मक पूर्ण संख्याओं, यथा c तथा d, जहाँ c>dका HCF (महत्तम समापवर्तक) 

निम्नांकित steps (चरणों) के अनुसरण द्वारा निकाला जा सकता है :

Step: 1. c और d के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग कीजिए। इसलिए, हम ऐसे q और r ज्ञात करते हैं कि c=dq+r,0≤r<d

Step: 2. यदि r=0 है, तो d पूर्णांकों c और d का HCF है। यदि r≠0 है, तो d और r के लिये यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग कीजिए।

Step: 3. इस प्रक्रिया को तबतक जारी रखा जाता है, जबतक कि शेषफल 0 न प्राप्त हो जाए। इसी स्थिति में, प्राप्त भाजक ही वांछित HCF है।

प्रश्नावली 1.1 

प्रश्नावली 1.2 

प्रश्नावली 1.3 

प्रश्नावली 1.4