Class-IX Chapter-1 Number System

            

संख्या पद्धति (Number System)

संख्या पद्धति - जिस भी भौतिक राशी के परिणामों का बोध करने के लिए जिस पद्धति का उपयोग करते है , उसे संख्या पद्धति कहते है |

इनको इनके गुणों और विशेषताओं के आधार निम्न भागों में बिभाजित किया जाता है -

1. प्राकृत संख्या (Natural Number)- वे संख्याएँ जो वस्तुओं को गिनने के कम में आती है प्राकृत संख्याएँ कहलाती है |

W={1,2,3,4...............}

2. पूर्ण संख्या (Whole Number)- प्राकृतिक संख्याओं के साथ-साथ शून्य को पूर्ण संख्या  कहते हैं|

W = {0,1,2,3,4,5, ....}


ध्यान दें:
इसलिए सभी प्राकृतिक संख्याएं पूर्ण संख्या हैं लेकिन सभी पूर्ण संख्याएं स्वाभाविक संख्या नहीं हैं
उदाहरण:  2 प्राकृतिक संख्या है|

-2 एक प्राकृतिक संख्या नहीं है|

0 एक पूर्ण संख्या है|

3.पूर्णांक संख्या (Integer Number)- पूर्णांक संख्याएँ  सभी पूर्ण संख्याओं के साथ-साथ प्राकृतिक संख्याओं का ऋणात्मक  हिस्सा  है|

Z = {...., - 7, -6, -5, -4, -3, -2, -1,0,1,2,3,4,5,6, ...................}

ध्यान दें
1) अतः पूर्णांक संख्या में सभी प्राकृतिक संख्याओं के साथ-साथ सभी नकारात्मक संख्याएं शामिल हैं|
2) शून्य के बिना प्राकृतिक संख्याएं सामान्यतः सकारात्मक पूर्णांक के रूप में संदर्भित होती हैं|
3) एक सकारात्मक पूर्णांक के नकारात्मक को एक संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जो कि 0 का उत्पादन करता है जब यह इसी सकारात्मक पूर्णांक में जोड़ा जाता है|
4) शून्य के साथ प्राकृतिक संख्याएं गैर-नकारात्मक पूर्णांक के रूप में संदर्भित की जाती हैं|
5) प्राकृतिक संख्याएं पूर्णांक के एक सबसेट का निर्माण करती हैं|

परिमेय और अपरिमेय संख्याएं (Rational or Irrational Number)

परिमेय संख्या:- एक संख्या को परिमेय संख्या कहा जाता है यदि इसे  p / q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहां p और q पूर्णांक हैं |(q> 0)
उदाहरण: 1/2, 4/3, 5/7, 1 इत्यादि |

ध्यान दें
हर पूर्णांक, प्राकृतिक और पूर्ण संख्या एक तर्कसंगत संख्या है क्योंकि उन्हें p / q के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है|
दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संगत संख्याएं हैं |
वे या तो समाप्ति दशमलव अभिव्यक्ति या दोहराए जाने वाले दशमलव अभिव्यक्ति को दोहराते हैं। यदि एक संख्या जिसका दशमलव विस्तार समाप्त हो रहा है या पुनरावर्ती को समाप्त नहीं किया जाता है तो यह तर्कसंगत है
राशि, अंतर और दो तर्कसंगत संख्याओं का उत्पाद हमेशा एक तर्कसंगत संख्या है। गैर-शून्य रवैयात्मक संख्या से एक तर्कसंगत संख्या के विभाजन के भागफल एक तर्कसंगत संख्या है। तर्कसंगत संख्याएं, घटाव, गुणन और विभाजन के तहत समापन संपत्ति को संतुष्ट करती हैं।

अपरिमेय संख्या:- एक संख्या को तर्कसंगत कहा जाता है यदि इसे प्रपत्र p / q में व्यक्त नहीं किया जा सकता है जहां p और q पूर्णांक हैं (q> 0)
उदाहरण: √3, √2, √5, पी आदि


ध्यान दें
पाइथागोरस प्रमेय: दाहिने कोण वाले त्रिकोण में, कर्ण का वर्ग अन्य दो पक्षों के वर्गों के योग के बराबर है। इस प्रमेय का उपयोग करके हम संख्या रेखा पर अमान्य संख्या का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं।

उनके पास बिना समाप्त और गैर दोहराए जाने वाले दशमलव अभिव्यक्ति है। यदि कोई संख्या गैर समाप्ति और गैर दोहराती दशमलव अभिव्यक्ति है, तो यह अपरिमेय  संख्या है

योग, अंतर, गुणन और तर्कसंगत संख्याओं का विभाजन हमेशा अपरिमेय  नहीं होता है। अनियमित संख्याएं, घटाव, गुणन और विभाजन के तहत समापन संपत्ति को संतुष्ट नहीं करती हैं

उदाहरण:- निम्नांकित रूप में निम्न लिखें और कहते हैं कि किस प्रकार के दशमलव विस्तार में प्रत्येक है:

(i) 15/100
(ii) 1/9
(iii) 2/11
(iv) 3/13
उत्तर- ( i)15/100
  0.15 (समाप्ति)
(ii)1/9
0.111111 ... (गैर समाप्त दोहराई)
(iii)2/11
.18181818 .... (गैर समाप्त दोहराई)
(iv)3/13
0.230769230769 ... = 0.230769 (गैर समाप्त दोहराई)
वास्तविक संख्याये:- सभी परिमेय संख्या  और सभी अपरिमेय संख्या वास्तविक संख्या का संग्रह बनाता है। इसे R द्वारा दर्शाया गया है |

हम संख्या रेखा पर वास्तविक संख्या का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या का वर्गमूल मौजूद है और यह भी संख्या रेखा पर प्रदर्शित किया जा सकता है|

एक परिमेय संख्या का योग या अंतर और एक अपरिमेय  संख्या एक अपरिमेय  संख्या है।

एक परिमेय  संख्या के साथ एक परिमेय  संख्या का गुणा  या विभाजन एक अपरिमेय  संख्या है।


संख्या रेखा पर दशमलव विस्तार का प्रतिनिधित्व करने की विज़ुअलाइज़ेशन की प्रक्रिया को लगातार बढ़ाई की प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है|

  

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  वास्तविक संख्या में बदलाव, सहयोगी और वितरण कानूनों को पूरा किया गया है इन्हें ये कहा जा सकता है:
  Commutative Law of Addition:
  a+b= b+a
  Commutative Law of Multiplication:
  a X b=b X a
  Associative Law of Addition:
  a + (b+c)=(a+b) +c 
  Associative Law of Multiplication:
  a X (b X c)=(a X b) X c 
  Distributive Law:
  a X (b + c)=(a X b) + (a X c) 
  or
  (a + b) X c=(a X c) + (b X c)